یک توضیح تاریخی

قبل از خواندن به پارادکس راسل مراجعه کنید:

عقیده عموم بر این است که ریاضی دان نامی گئورگ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸) تئوری نوین مجموعه ها را در ۱۸۹۵ به وجود اورد . او به هنگام مطالعه سریهای مثلثاتی متوجه شد که به وجود چنین نظریه ای نیاز است کانتور نوشت (منظور از مجموعه هر دسته ای از اشیا متمایز در شعور یا فکر ماست به صورت یک کل) این تعریف مانع نمی شد کسی مجموعه تمام مجموعه ها را در نظر بگیرد همچنانکه راسل این کار را کرد مشکل واقعی در تعریف کانتور برای مجموعه لغت (دسته) است .

دسته چیست؟ البته می توانیم به فرهنگ لغت نگاه کنیم و به تعاریفی شبیه به تعاریف زیر دست یابیم :

۱)دسته: گروهی از اشیائ گرد اوری شده

۲)گروه: یک گردایه یا دسته

۳)گردایه: یک دسته و..........

با این تعاریف دردی دوا نمی شود. هنگامی یک ریاضی دان تعریفی ارایه می دهد منظورش تنها اوردن یک مترادف مانند دسته به جای مجموعه یا تعریف دوری که در فرهنگ لغت می یابیم نیست. ظاهرا کانتور واقف نبود که واژه مجموعه تعریف نا پذیر است . برای اجتناب از هر مشکلی نظیر پارادکس راسل در نظریه مجموعه ها  باید واژه های مجموعه و عنصر را به عنوان واژه های تعریف نشده یا اولیه بپذیریم و چند اصل موضوع از جمله اصل موضوع تصریح و اصل موضوع مجموعه های توانی و اصل موضوع تعمیم و اصل موضوع مجموعه تهی و اصل موضوع جفت سازی و اصل موضوع اجتماع را راهنمای این واژه های اصلی قرار دهیم

پارادکس راسل تنها پارادکسی نبود که در نظریه مجموعه ها پدید امد کمی بعد از این که پارادکس راسل منتشر شد ریاضیدانها و منطقییون پارادکسهای بسیاری ساختند . نتیجه تمام این پارادکسها این شد که بسیاری از ریاضیدانان و منطقییون روی انواع زیادی از نظریه ی اصل موضوعی مجموعه ها کار کردند .منظور هر یک از این نظریه ها این بود تا پارادکسها از میان بروند و هسته اصلی نظریه ی مجموعه های کانتور حفظ شود. ولی تا این زمان کسی موفق نشده به این مهم دست پیدا کندو اصول موضوعی رضایت بخش برای نظریه مجموعه ها ارایه دهد.

با وجود مشکلات فوق الذکر نظریه ی مجموعه های کانتور امروزه در تمام رشته های ریاضیات نوین وارد شده و ثابت شده است که در پایه گذاری انالیز مدرن و توپولوژی اهمیت خاص دارد در واقع حتی ساده ترین سیستمهای اصل موضوعی کاملا توسعه یافته ی نظریه ی مجموعه ها برای کار ریاضیات کلاسیک( مانند نظریه اعداد حقیقی و مختلط, جبر و توپولوژی و غیره ) کاملا کافی است. 

پارادکس راسل

شاید همه ما فکر کنیم که حداقل به طور شهودی معنی مجموعه را می دانیم . ولی باید توجه کرد که در نظر گرفتن مجموعه جهانی یا همان مجموعه مجموعه ها به معنای واقعی ان چه اشکالی دارد . برتراند راسل ریاضی دان و فیلسوف انگلیسی در سال ۱۹۰۲ با اعلام قبول این مطلب که مجموعه مرجع یا همان مجموعه مجموعه ها به تناقض منجر می شود جماعت ریاضی دانان را به لرزه در اورد و این در حالی بود که ریاضی دانها تا قبل سال ۱۹۰۲ وجود مجموعه مجموعه ها را فرضی مسلم می دانستن.اثبات این مطلب بسیار اسان است و در هر کتاب مبانی ریاضیاتی پیدا می شود بدین صورت که با گرفتن دو لم به تناقض می رسیم و قضیه زیر اثبات می شود:

قضیه:مجموعه مجموعه ها وجود ندارد.

هالموس این قضیه را به صورت (هیچ چیز شامل همه چیز نیست) بیان میکند.

غلط اما دیدنی

به مراحل زیر توجه کنید:

۱۲-=۱۲-

۱۶ - ۲۸ = ۹ - ۲۱ ----> ۱۶ - ۲۸ +۴۹/۴ = ۹ - ۲۱+۴۹/۴

(۴-۷/۲)*۲ = (۳-۷/۲)*۲

از طرفین جذر می گیریم(علامت * یعنی توان و علامت / یعنی تقسیم)

۴-۷/۲=۳-۷/۲

حال از طرفین تساوی ۲/۷- را حذف می کنیم:

۴ = ۳ ----> ۲×۲=۳

وای دیدی که دو دو تا می شه سه تا ؟!! عجله نکن این غلط .خودت غلطش پیدا کن!

پارادکس در ریاضی

مسائل زیر پارادکسی مشهور هستند . ابهامات و نکاتی که باعث بروز انها شده است را بیابید:

۱) پارادکس (شخص دروغگو ):شخصی گفت: (انچه دارم می گویم دروغ است) او راست می گوید یا دروغ؟

اگر راست گفته باشد طبق گفته خودش دروغ گفته است . و اگر دروغ گفته باشد پس انچه که می گوید کاذب است یعنی راست گفتهاست!

۲)پارادکس (دیدار سر زده):شخصی به یکی از دوستان خود گفت :(در یکی از روزهای هفته اینده به دیدارت خواهم امد و تو پیشاپیش نخواهی دانست کدامین روز به دیدنت می ایم)

اما رفیق او با استدلالی نشان داد این عمل امکانپذیر نیست! استدلال او این بود که اگر تا روز پنج شنبه نیایی حتما جمعه خواهی امد و من امدنت را فهمیده ام پس هیچگاه جمعه نخواهی امد و امدنت در یکی از روز های شنبه تا پنج شنبه است. حال اگر تا چهارشنبه نیامده باشی پس حتما پنج شنبه می ایی و من امدنت را فهمیده ام. پس مجبوری در یکی از روزهای شنبه تا چهارشنبه بیایی. با ادامه استدلال به صورت بالا فقط روز شنبه باقی می ماند و باید شنبه بیایی که باز هم من امدنت را فهمیده ام . پس شنبه هم نمی توانی بیایی !! (او چه روزی پس بیایید؟!)

۳)پارادکس (لاک پشت و اشیل): روزی لاک پشتی با دونده ای به نام اشیل در امتداد جاده ای مسابقه می دهد. در شروع اشیل از روی غرور ده متر عقبتر قرار می گیرد. با اغاز مسابقه لاک پشت با سرعت کند خود و اشیل با سرعت تند خود شروع به حرکت می کنند. استدلال زیر نشان می دهد اشیل هرگز از لاک پشت جلو نمی زند !:

اشیل برای رسیدن به لاک پشت ابتدا باید به مکانی که در اغاز لاک پشت در انجا بوده برسد و این مدتی وقت می گیرد و در این مدت لاک پشت به مکانی جلو تر رسیده است . حال اشیل باید به مکان جدید لاک پشت برسد و این نیز مدتی وقت می خواهد و در این مدت لاک پشت مقداری به جلو حرکت کرده است. پس برای رسیدن اشیل به لاک پشت اشیل باید از بی نهایت نقطه رد شود و رد شدن از هر نقطه به نقطه بعدی در یک فاصله زمانی غیر صفر انجام می شود . بنابراین بی نهایت زمان لازم است تا اشیل به لاک پشت برسد!(ایا لاک پشت برنده است؟!)

چرا دانشجویان ریاضی در یادگیری ریاضی دچار مشکل می شوند؟

پاسخ از دکتر ناصر بروجردیان هئیت علمی دانشگاه صنعتی امیر کبیر:

یادگیری ریاضیات بطور دقیق و منطقی یکی از مشکلات مهم کسانی است که وارد رشته ریاضی می شوند. ریشه اصلی این مشکلات در ماهیت ریاضی نهفته است. ریضیات از یک طرف علمی است که در اتباط با محیط پیرامون شکل می گیرد و از طرف دیگر علمی است مجرد که تحت قوانین منطقی و قواعد ذهنی بیان می شود.

مخلوط شدن این دو شیوه نگرش ریاضیات وعدم تشخیص مرزهای این دو شیوه فهم ریاضیات مانع اصلی درک و یادگیری مفاهیم ریاضی است. دانشجویان باید بتوانند ریاضیات مجرد را از ریاضیات تجربی تفکیک کنند. درک ریاضی به صورت یک علم مجرد دنباله اموزشهای دبیرستانی نیست و یک نظم فکری جدید را می طلبد. بنابراین مهمترین نکته ای را که دانشجویان باید به ان توجه کنند این است که در طرز تفکر خود نسبت به ریاضیات یک تغییر عمده ایجاد کنندو مطالبی را که از قبل یاد گرفته اند به عنوان اطلاعات عمومی تلقی کنند.

وقتی ریاضیات را به عنوان علم مجرد شروع می کنیم تمامی مطالبی را که یادگرفته ایم مورد بازنگری قرار می دهیم و همه چیز از نو شروع می شود و ابتدایی ترین خواص که شاید در دبستان بدون اثبات پذیرفته می شدند مجدد مورد بحث قرار می گیرند و با برهان به اثبات می رسند.(این مطلب بصورت خلاصه نوشته شده است) 

دیدنی اما غلط

به اثبات زیر توجه

-۱=(-۱)*۱/۳=(-۱)*۲/۶=((-۱)*۲)*۱/۶=(۱)*۱/۶=۱ ----> -۱=۱

(علامت  *   یعنی توان رساندن) ایا می توانید ایراد اثبات فوق را پیدا کنید؟