تعریف: نیم گروهی که عضو خنثی و هر عضو ان وارون پذیر باشد را گروه گوییم.اگر عمل تعریف شده روی مجموعه خاص جا به جایی باشد گروه را جا به جایی یا ابلی می گوییم.
تعریف: فرض کنید R یک مجموعه نا تهی باشد و + و . به عنوان دو عمل که اولی عمل جمع و دومی عمل ضرب تعریف شوند. به ساختمان ریاضی ( . , + , R ) یک حلقه گوییم هرگاه شرایط زیر برقرار باشند :
۱) (+,R ) یک گروه جابه جایی باشد.
۲) ( .,R ) یک نیم گروه باشد.
۳) R با دو عمل تعریف شده خاصیت پخشی داشته باشد. یعنی اگر a,b,c سه عضو دلخواه متعلق به R باشند ان وقت :
a . (b+c) = a.b + a.c و b+c).a = b.a + c.a)
تعریف: حلقه R را بدیهی گوییم هرگاه ضرب هر دو عنصر دلخواه ان صفر باشد(عضو همانی)
تعریف: حلقه R را جا به جایی گوییم هر گاه نیم گروه ضربی جا به جایی باشد.
تعریف: حلقه R را یکه دار گوییم هر گاه نیم گروه ضربی عضو خنثی یا همانی داشته باشد.
تعریف: حلقه R را میدان گوییم اگر عضو خنثی جمعی را از نیم گروه ضربی خارج کنیم گروه جا به جایی تولید شود.
تعریف: حلقه R را حوزه صحیح گوییم اگرx , y متعلق به R باشند و x.y = 0 ایجاب کند x = 0 یا y = 0 .
تمرین: ایا x.y =0 لزوما ایجاب می کند x = 0 یا y = 0
