اعداد حقیقی

اعداد اولین بار در شمارش ظاهر شدند که همان اعداد طبیعی { .... ,۳ ,۲ ,۱ } بودند که با نظیر کردن هر شئ به این اعداد عمل شمارش صورت می گرفت. اما همیشه کمییتهای مورد اندازه گیری گسسته نیستند بنابراین اعداد طبیعی جواب گو نخواهند بود .

برای مثال باید نسبت وزن دو جسم را نیز یک عدد تلقی کرد.مثلا فرض کنید دو جسم M و N را در اختیار داریم برای مقایسه این دو جسم همجنس جسم همجنس سوم K را که کوچکتر از ان دو می باشد در نظر می گیریم که اندازه دو جسم M و N مضرب طبیعی از جسم سوم K باشد در این صورت جسم K در در جسم M به تعداد طبیعی m بار ظاهر شده و نیز جسم K به تعداد n بار در جسم N .

 نسبت جسم M به جسم N که برابر است با m/n یک عدد پدید می اورد که در ان m و n اعداد طبیعی هستند . به این گونه اعداد , اعداد گویا گویند. اگر فرض شود که جسم N واحد باشد و ان را با 1 نمایش دهیم انگاه بین m/1 و m تمایزی قایل نمی شویم و این یعنی این که اعداد گویا اعداد طبیعی را در بر گرفته است و مجموعه ای گسترده تر ساخته ایم.

اما اعداد گویا نیز نیاز ها را رفع نمی کنند. چرا که اگر مربعی به ضلع a را در نظر بگیریم بنا به قضیه فیثاغورس قطر این مربع برابر است با رادیکال دو برابر a .

اگر نسبت قطر مربع را به ضلع ان بسنجیم , واضح است که حاصل برابر (رادیکال دو ) خواهد بود . بنا به برهان مشهوری می توان ثابت کرد که (رادیکال دو) عددی گویا نیست که به عنوان تمرین ان را ثابت کنید (به عنوان راهنمایی : از فرض خلف استفاده کنید ).

بنابراین به وجود یک سری از اعداد دیگر پی می بریم و برای انها تعریف :

اعدادی که گویا نباشند را نا گویا یا اصم نامیم

 

ارایه می دهیم:

به اجتماع اعداد گویا و اصم اعداد حقیقی گوییم .اما مطلب به این سادگی نیست که در تعریف مشاهده می شود برای ساخت اعداد حقیقی به یک سری تعاریف و لم احتیاج هست که بحثی تخصصی و ریاضی وار می باشد و گفتن ان در وبلاگ امکان پذیر نیست. اما روش ساخت اعداد حقیقی در کتب انالیز ریاضی مورد بحث قرار می گیرند. روش ارائه شده برای ساخت اعداد حقیقی توسط ریاضی دان بزرگ ددکیند بسیار جالب و جذاب است و تحت نام برش ددکیند در کتاب های انالیز ریاضی موجود هست.

                                                الهام گرفته از جزوه دکتر شهشهانی استاد دانشکده ریاضی شریف